Num prisma quadrangular regular, a área lateral mede 32 m² e o volume 24 cm³ . Calcular as suas dimensões.

resposta:

Um prisma é chamado quadrangular quando suas bases são quadrados.

Da mesma forma o prisma cujas bases são triângulos é chamado triangular, se (as bases) forem retângulos (o prisma) é chamado retangular, se forem pentágonos é chamado pentagonal...

Um prisma é chamado de REGULAR quando ele é um prisma RETO e suas bases são POLÍGONOS REGULARES.

RETO → as arestas laterais são todas perpendiculares aos planos das bases

REGULAR → as bases são polígonos cujos ângulos são todos iguais e todas as arestas das bases são iguais.

A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todos os lados do prisma → não inclui a área das bases.
A área total de um prisma é a soma da área lateral às áreas das bases.
O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura do prisma.

prisma quadrangular regular indicados lados, bases e arestas

paralelepípedo prisma quadrangular de lado da base a e altura h

Resolução:
Área Lateral$\;A_L\,=\,4\centerdot ah\,=\,32\;\Rightarrow\;ah\,=\,8\,m^2\phantom{X}$(I)

Volume$\,=\,A_{\large base}\centerdot h\,=\,a^{\large 2}\centerdot h \,=\,24\phantom{X}$(II)

Dividindo (II) por (I) temos:

$\;\dfrac{a^{\large 2}h}{ah}\,=\,\dfrac{24}{8}\;\Rightarrow\;\boxed{\,a\,=\,3\,m\,}\;$

Substituindo $\;a\,=\,3\;$ em (I):

$\;3\centerdot h\,=\,8\;\Rightarrow\;\boxed{\,h\,=\,\dfrac{8}{3}\,m\,}\;$

Resposta:As dimensões do prisma são

aresta da base igual a 3 m e altura igual a 8/3 m
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Num prisma reto, cada base é um retângulo que tem um lado o dobro do outro, a altura do prisma mede 15 cm e a área total 424 cm² .
Calcular as dimensões da base.

resposta:

O enunciado descreve um paralelepípedo reto retângulo com dimensões de (veja figura):
arestas da base x e 2x e
aresta lateral 15 cm .
Resolução:

Área Total:A_Total = 2(A_base) + A_lateral = 424

Área Total$\;A_T\,=\,2(x\centerdot 2x\,+\,x\centerdot 15\,+\,2x\centerdot \,15)\,=\,424\;\Rightarrow\;$

$\;2x^{\large 2}\,+\,15x\,+\,30x\,=\,212\;\Rightarrow\;$

$\;2x^{\large 2}\,+\,45x\,-\,212\,=\,0\;\Rightarrow\;$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} x_1\,=\,4\;\phantom{XXXX}\;& \\ x_2\,\mbox{ raiz negativa }& \end{array} \right.\,$

Resposta:Como as bases medem x e 2x, então as arestas da base são iguais a

4 cm e 8 cm.
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Determine o volume do prisma quadrangular regular inscrito no cilindro equilátero da figura em função do raio da base do mesmo.

prisma quadrangular inscrito em um cilindro equilátero

resposta:

Resolução:

base do cilindro equilátero que contém um prisma quadrangular inscrito

1. calcular a aresta da base do prisma interno:

$\;\overline{AB}\;\rightarrow\;$ lado do quadrado inscrito

$\;\overline{AC}\;\rightarrow\;$ diagonal do quadrado e diâmetro $\;2R\;$

$\;AB\sqrt{2}\,=\,2R\;\Rightarrow\;$ $\;AB\,=\,\dfrac{2R}{\sqrt{2}}\centerdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;\overline{AB}\,=\,R\sqrt{2}\;$

2. calcular a altura do prisma interno:

Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).

3. calcular o volume do prisma:

Volume = (Área da Base)×(altura)

$\;V\,=\,\left( R\sqrt{2}\right)^{\large 2}\centerdot 2R\;\Rightarrow\;$

$\;V\,=\,2R^{\large 2}\centerdot 2R\;=\;4R^{\large 3}\;$

Resposta: O volume do prisma em função do raio será

V = 4R³
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